arctg

Разложение в ряд Маклорена:

y = arctg(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - ...               |x| < 1

arctg(1/x) = 1/x - (1/2)x³ + (1/5)x⁵ - .

tan(x) = x/(1-x^2/(3-x^2/(5-x^2/(7-x^2/...))))

Пусть max - больший катет, а min - меньший. Тогда длина гипотенузы приблизительно равна

max + min*min/(2*max)

Её максимальная относительная ошибка равна: 1 - sqrt(2)/1.5 ~ 0.057

А если взять формулу:

max + 0.43*min*min/max, то максимальная относительная ошибка будет ~ 0.01

Если же хочется сделать вычисления проще, то можно взять формулу:

max + 0.41*min, но ошибка будет 0.075

Коэффициенты  подобраны экспериментально с точность 0.01. Можно подобрать точнее.

Еще один пример ряда для x < 1;

Еще одна эмпирически подобранная формула:

//formula  y = -0.30097 + 0.61955*x - 0.001659*x*x

//x :number from 0..100%

//y : angle from 0..45° as approximation of the atan function.

int32_t arctang(int32_t Re, int32_t Im)

{

int32_t a,b,proc,arctg;

proc=a*100.0/b;

//proc_int=a*100/b;

arctg=(-300970 + 619550*proc - 1659*proc*proc)/1000000;

return arctg;

}

Для вычисления арктангенса можно использовать следующий алгоритм:

Вначале проверить знак x, изменить знак, сделав аргумент неотрицательным. Затем если x>1, обратить его: x1=1/x. Затем сокращаем область определения, используя формулу:

atan(x)=pi/6+atan((x*sqrt(3)-1)/(x+sqrt(3))).

Здесь sqrt(3) квадратный корень из 3. При этом необходимо запомнить число шагов (возможно, ноль). После этого, арктангенс на интервале [0,pi/12] аппроксимируется формулой (для single precision, в случае double формула должна быть улучшена!):

atan(x) = x*(0.55913709/(1.4087812+x2) +0.60310579-0.05160454*x2)

Затем к полученному результату добавляется столько pi/6, сколько было шагов сокращения области определения. Затем, в случае обращения, аргумента, результат вычитается из pi/2. Затем, если была смена знака, у результата меняем знак. Для повышенной точности, формулу на участке [0,pi/12] следует брать в виде:

atan(x) = x*(m0+n0*(x*x)+k0/(m1+n1*(x*x)+k1/(m2+n2*(x*x)+k2/(...)))),

то есть в том же виде цепной дроби, как и для single precision, только с некоторыми другими значениями m0,n0,k0;m1,n1,k1;... 

#define M_PI ((float)3.141592653589793)

#define M_PI12 (M_PI/12.F)

#define M_PI6 (M_PI/6.F)

#define M_PI2 (M_PI/2.F)

/* square root of 3 */

#define SQRT3 ((float)1.732050807569)

float Arctan(float x) {

  int sta=0,sp=0;

  float x2,a;

  /* check up the sign change */

  if(x<0.F) {x=-x;sta|=1;}

  /* check up the invertation */

  if(x>1.F) {x=1.F/x;sta|=2;}

  /* process shrinking the domain until x<PI/12 */

  while(x>M_PI12) {

    sp++; a=x+SQRT3; a=1.F/a; x*=SQRT3; x-=1.F; x*=a;

  }

  /* calculation core */

  x2=x*x; a=x2+1.4087812F; a=0.55913709F/a; a+=0.60310579F;

  a-=0.05160454F*x2; a*=x;

  /* process until sp=0 */

  while(sp>0) {a+=M_PI6;sp--;}

  /* invertation took place */

  if(sta&2) a=M_PI2-a;

  /* sign change took place */

  if(sta&1) a=-a;

  return(a);

}